$60$ $kg$ દળ ધરાવતો એક માણસ સીડી ચઢીને અને ઉતરીને $5$ $kg$ દળ ઘટાડવા માંગે છે. ધારો કે ચઢતી વખતે ઉતરતી વખત કરતા બમણી ચરબીનું દહન થાય છે. જો $1$ $kg$ ચરબીના દહનથી $7000$ $kcal$ ઉર્જા મળતી હોય, તો $5$ $kg$ દળ ઘટાડવા માટે તેણે કેટલી વાર સીડી ચઢવી અને ઉતરવી જોઈએ ($\text{વાર}$ માં)? (ધારો કે એક ફેરામાં ચઢતી વખતે $20$ $kcal$ અને ઉતરતી વખતે $10$ $kcal$ ઉર્જા વપરાય છે).

એક કણ $P$ ઘર્ષણરહિત અર્ધગોળાકાર વાટકામાં નીચે સરકી રહ્યો છે. તે $t = 0$ સમયે બિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે. આ સમયે, તેના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v$ છે. $P$ જેટલા જ દળનો એક મણકો $Q$, $t = 0$ સમયે $A$ થી સમક્ષિતિજ દોરી $AB$ પર (આકૃતિ જુઓ) $v$ ઝડપ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. મણકા અને દોરી વચ્ચેનું ઘર્ષણ અવગણી શકાય છે. ધારો કે ${t_P}$ અને ${t_Q}$ એ $P$ અને $Q$ દ્વારા બિંદુ $B$ સુધી પહોંચવા માટે લીધેલ સમય છે. તો

એક પદાર્થ $A$ જે $P$ વેગમાન સાથે ગતિ કરે છે,તે સમાન દળ ધરાવતા બીજા સ્થિર પદાર્થ $B$ સાથે એક-પરિમાણીય અથડામણ કરે છે. અથડામણ દરમિયાન,$A$ એ $B$ ને $J$ જેટલો આઘાત (impulse) આપે છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(a)$ અથડામણ પહેલાં અને પછી $A$ અને $B$ નું કુલ વેગમાન $P$ છે અને અથડામણ દરમિયાન $(P-J)$ છે.
$(b)$ અથડામણ દરમિયાન,$B$ એ $A$ ને $J$ મૂલ્યનો આઘાત આપે છે.
$(c)$ રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક (coefficient of restitution) $\left[\frac{2 J}{P}-1\right]$ છે.
$(d)$ રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $\left[\frac{2 J}{P}+1\right]$ છે.

નીચેના વિધાનો ખરા છે કે ખોટાં તે જણાવો:
$(a)$ જો બળ અને સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $4$ ગણું વધારવામાં આવે,તો ઊર્જાનું મૂલ્ય $16$ ગણું વધે છે.
$(b)$ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં વેગમાન અને ઊર્જા એમ બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
$(c)$ જો તંત્ર પર અસંરક્ષી બળો દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે,તો સ્થિતિઊર્જા વધે છે.

નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

$1 \; kg$ નું દળ સ્થિર રહેલા $5 \; kg$ ના દળ સાથે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે. સંઘાત પછી,$1 \; kg$ દળનો પદાર્થ તેની મૂળ દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં $2 \; ms^{-1}$ ના વેગથી ગતિ કરે છે. આ બે દળોના તંત્ર માટે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?