m frac{d^2x}{dt^2} + b frac{dx}{dt} + kx = 0 | vedclass

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Question

(D) एक डैम्प्ड ऑसिलेटर की यांत्रिक ऊर्जा समय $t$ पर $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $E_0$ प्रारंभिक ऊर्जा है।हमें वह समय $t$ ज्ञात करना

Vedclass · Accepted Answer

$t = \frac{m}{b} 	imes \frac{1}{2} \ln 2$

Vedclass · Answer

(D) एक डैम्प्ड ऑसिलेटर की यांत्रिक ऊर्जा समय $t$ पर $E(t) = E_0 e^{-bt/m}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $E_0$ प्रारंभिक ऊर्जा है।हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $E(t) = \frac{E_0}{2}$ हो।इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{E_0}{2} = E_0 e^{-bt/m}$।दोनों पक्षों को $E_0$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} = e^{-bt/m}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/2) = -bt/m$।चूंकि $\ln(1/2) = -\ln 2$, इसलिए $-\ln 2 = -bt/m$।$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{m}{b} \ln 2$। दिए गए विकल्पों के आधार पर, विकल्प $D$ सही उत्तर माना गया है।

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परिभाषित करें: प्राकृतिक दोलन,मुक्त दोलन और प्रणोदित दोलन।

$Assertion :$ दोलन करते हुए लोलक का आयाम समय के साथ धीरे-धीरे घटता है.
$Reason :$ लोलक की आवृत्ति समय के साथ घटती है.

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