$M$ દળ અને $L$ લંબાઈનો એક સમાન સળિયો લીસા આડા સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યો છે. $v$ વેગથી ગતિ કરતો $m$ દળનો એક કણ સળિયાના એક છેડા પર લંબરૂપે અથડાય છે અને સ્થિર થઈ જાય છે. અથડામણ પછી સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કેટલો હશે?

કણોની સિસ્ટમની ગતિનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ ગતિમાં વિભાજન:
$(a)$ સાબિત કરો કે $p = \sum p_{i}^{\prime} + M V$,જ્યાં $p$ એ સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન છે,$p_{i}^{\prime} = m_{i} v_{i}^{\prime}$,અને $v_{i}^{\prime}$ એ $i^{th}$ કણનો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ વેગ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\sum p_{i}^{\prime} = 0$.
$(b)$ સાબિત કરો કે $K = K^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}$,જ્યાં $K$ એ સિસ્ટમની કુલ ગતિઊર્જા છે,$K^{\prime}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ સિસ્ટમની કુલ ગતિઊર્જા છે,અને $\frac{1}{2} M V^{2}$ એ સમગ્ર સિસ્ટમના સ્થાનાંતરની ગતિઊર્જા છે.
$(c)$ સાબિત કરો કે $L = L^{\prime} + R \times M V$,જ્યાં $L^{\prime} = \sum r_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન છે. નોંધો કે $r_{i}^{\prime} = r_{i} - R$.
$(d)$ સાબિત કરો કે $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \sum r_{i}^{\prime} \times \frac{d p_{i}^{\prime}}{d t}$. વધુમાં,સાબિત કરો કે $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \tau_{ext}^{\prime}$,જ્યાં $\tau_{ext}^{\prime}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ સિસ્ટમ પર લાગતા તમામ બાહ્ય ટોર્કનો સરવાળો છે.

બે માણસો $A$ અને $B$ એ $120 \ cm$ લંબાઈ અને $40 \ kg$ દળ ધરાવતા પાટિયા પર ઉભા છે. $B$ ($60 \ kg$ દળ) પાટિયાની મધ્યમાં છે અને $A$ ($40 \ kg$ દળ) પાટિયાના ડાબા છેડે છે. તંત્ર શરૂઆતમાં લીસી આડી સપાટી પર સ્થિર છે. $A$ અને $B$ એવી રીતે ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે કે જેથી $A$ અને $B$ મળે ત્યાં સુધી $B$ નું સ્થાન જમીનની સાપેક્ષમાં નિશ્ચિત રહે. $A$ અને $B$ જ્યાં મળે છે તે બિંદુ ક્યાં આવેલું છે?

કણોની સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન શું છે?

નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$1.$ કણોની સિસ્ટમનું રેખીય વેગમાન શૂન્ય છે.
$2.$ કણોની સિસ્ટમની ગતિઊર્જા શૂન્ય છે.
તો:

કણોના તંત્ર માટે નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$A$: તંત્રનું રેખીય વેગમાન શૂન્ય છે.
$B$: તંત્રની ગતિઊર્જા શૂન્ય છે.