$(a)$ गति के दूसरे समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ को ग्राफ़ीय विधि से व्युत्पन्न कीजिए,जहाँ प्रतीकों के सामान्य अर्थ हैं।
$(b)$ एक कार $5 \text{ s}$ में $18 \text{ km h}^{-1}$ से $36 \text{ km h}^{-1}$ तक समान रूप से त्वरित होती है। कार का त्वरण और उस समय में कार द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

(A) वेग-समय ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल वस्तु द्वारा तय की गई दूरी को दर्शाता है। चित्र में दिखाए अनुसार,यह क्षेत्रफल आयत $OACD$ के क्षेत्रफल और त्रिभुज $ABC$ के क्षेत्रफल का योग है।
आयत $OACD$ का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = OC \times OA = t \times u = ut$.
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$.
चूँकि $v = u + at$,इसलिए $(v - u) = at$ होता है। इस मान को त्रिभुज के क्षेत्रफल में रखने पर:
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times t \times (at) = \frac{1}{2}at^2$.
अतः,कुल दूरी $S = \text{आयत } OACD \text{ का क्षेत्रफल} + \text{त्रिभुज } ABC \text{ का क्षेत्रफल} = ut + \frac{1}{2}at^2$.
$(b)$ दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 18 \text{ km h}^{-1} = 18 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 5 \text{ m s}^{-1}$.
अंतिम वेग $v = 36 \text{ km h}^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 10 \text{ m s}^{-1}$.
समय $t = 5 \text{ s}$.
त्वरण $a = \frac{v - u}{t} = \frac{10 - 5}{5} = \frac{5}{5} = 1 \text{ m s}^{-2}$.
दूरी $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = (5 \times 5) + \frac{1}{2} \times 1 \times (5)^2 = 25 + 12.5 = 37.5 \text{ m}$.