lim _{x rightarrow 0} frac{e^{2|sin x|}-2|sin | vedclass

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Question

(D) माना $t = |\sin x|$ है। जैसे $x ightarrow 0$,$t ightarrow 0^+$। व्यंजक $\lim _{t ightarrow 0^+} \frac{e^{2t}-2t-1}{t^2} 	imes \frac{\sin^2

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$2$ के बराबर है

Vedclass · Answer

(D) माना $t = |\sin x|$ है। जैसे $x ightarrow 0$,$t ightarrow 0^+$। व्यंजक $\lim _{t ightarrow 0^+} \frac{e^{2t}-2t-1}{t^2} 	imes \frac{\sin^2 x}{x^2}$ बन जाता है। चूंकि $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = 1$,हम $\lim _{t ightarrow 0^+} \frac{e^{2t}-2t-1}{t^2}$ का मूल्यांकन करते हैं। टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए $e^{2t} = 1 + 2t + \frac{(2t)^2}{2!} + \frac{(2t)^3}{3!} + \dots = 1 + 2t + 2t^2 + \frac{4t^3}{3} + \dots$। $\lim _{t ightarrow 0^+} \frac{(1 + 2t + 2t^2 + \dots) - 2t - 1}{t^2} = \lim _{t ightarrow 0^+} \frac{2t^2 + \dots}{t^2} = 2$। अतः,सीमा $2 	imes 1 = 2$ है।

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2|\sin x|}-2|\sin x|-1}{x^2}$

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