int_0^{pi / 4} frac{cos ^2 x sin ^2 x}{left(c | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\left(\cos ^3 x+\sin ^3 x\right)^2} d x$ है।अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर:$I =

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(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\left(\cos ^3 x+\sin ^3 xight)^2} d x$ है।अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर:$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\cos^6 x}}{\left(\frac{\cos ^3 x+\sin ^3 x}{\cos^3 x}ight)^2} d x = \int_0^{\pi / 4} \frac{	an^2 x \sec^2 x}{(1+	an^3 x)^2} d x$ प्राप्त होता है।माना $t = 1 + 	an^3 x$ है। तब $dt = 3 	an^2 x \sec^2 x d x$,जिसका अर्थ है कि $	an^2 x \sec^2 x d x = \frac{dt}{3}$ है।जब $x = 0$,तब $t = 1 + 0 = 1$ है। जब $x = \pi / 4$,तब $t = 1 + (1)^3 = 2$ है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \frac{1}{3} \int_1^2 \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{t} ight]_1^2 = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} - (-1) ight) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} ight) = \frac{1}{6}$।

$\int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\left(\cos ^3 x+\sin ^3 x\right)^2} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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