int_{frac{-pi}{2}}^{frac{pi}{2}} frac{cos x}{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} dx$ ... $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपय

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$1$

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(A) माना $I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} dx$ ... $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x)}{1+e^{(\frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x)}} dx$$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\frac{1}{e^x}} dx$$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x \cos x}{e^x+1} dx$ ... $(2)$समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} dx$$2I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} dx = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$चूंकि $\cos x$ एक सम फलन है,$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx$:$2I = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} d x=$

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मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) + g(x) = 0$ को संतुष्ट करते हैं। तो $\int_{-4}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$e^{\int_0^{\pi / 2} \sqrt{\frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x}} d x}=$

$\int_{0}^{\pi} e^{\sin^2 x} \cos^3 x \, dx$ का मान क्या है?

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$\int\limits_0^\pi (x \cdot \sin^2 x \cdot \cos x) dx =$

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