$\int_{-2}^{1} [x+1] \, dx =$ (જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી મોટો ન હોય તેવું મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે)

વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,ધારો કે $[x]$ એ $x$ થી નાની અથવા તેના જેટલી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે અને $\{x\}=x-[x]$. $n$ ની એવી નાનામાં નાની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમત શોધો જેના માટે $\int_1^n [x]\{x\} dx$ ની કિંમત $2013$ થી વધુ હોય.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x-[x]) \, dx=$

સાબિત કરો કે $\int_{0}^{1} \sin^{-1} x \, dx = \frac{\pi}{2} - 1$.

$\int_0^1 \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = $

ધારો કે $y = \{x\}^{[x]}$ જ્યાં $\{x\}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે અને $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે,તો $\int_{0}^{3} y \, dx = $