$ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં $\overline{AB}=\bar{a}$,$\overline{AD}=\bar{b}$ અને $\overline{AC}=2\bar{a}+3\bar{b}$ છે. જો તેનું ક્ષેત્રફળ એ $AB$ અને $AD$ ને પાસપાસેની બાજુઓ તરીકે ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળના $\alpha$ ગણું હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

જો $|a| = |b| = 1$ અને $|a + b| = \sqrt{3}$ હોય,તો $(3a - 4b) \cdot (2a + 5b)$ ની કિંમત શોધો.

જો સદિશો $\hat{i}-2x\hat{j}-3y\hat{k}$ અને $\hat{i}+3x\hat{j}+2y\hat{k}$ એકબીજાને લંબ હોય,તો બિંદુ $(x, y)$ નો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\overrightarrow{c} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે. જો $\overrightarrow{r}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$ થાય,તો $25|\overrightarrow{r}|^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $\theta$ એ એકમ સદિશો $\mathbf{a}$ અને $\mathbf{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\cos \frac{\theta}{2} = $

ધારો કે સદિશ $\overrightarrow{a}=\sqrt{2}\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$, $\lambda>0$, એ સદિશ $\overrightarrow{b}=-\lambda^{2}\hat{i}+4\sqrt{2}\hat{j}+4\sqrt{2}\hat{k}$ સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે અને ધન $z$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે, જ્યાં $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$ છે. જો $\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો ગણ $(\alpha, \beta)-\{\gamma\}$ હોય, તો $\alpha+\beta+\gamma$ ની કિંમત . . . . . . . થાય.