$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1}&a&{bc}\\{b - 1}&b&{ca}\\{c - 1}&c&{ab}\end{array}} \right| = $

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$

बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि $\Delta = \begin{vmatrix} x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.

यदि $\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{matrix} \right| = 5$ है,तो $\left| \begin{matrix} bc^2 - b^2c & a^2c - ac^2 & ab^2 - ba^2 \\ b^2 - c^2 & c^2 - a^2 & a^2 - b^2 \\ c - b & a - c & b - a \end{matrix} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|=k^{2}(3y+k)$

यदि $a \neq b \neq c$, $\Delta_1=\left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & b c \\ 1 & b^2 & c a \\ 1 & c^2 & a b\end{array}\right|$, $\Delta_2=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right|$ और $\frac{\Delta_1}{\Delta_2}=\frac{6}{11}$ है, तो $11(a+b+c)=$