સમીકરણોની સિસ્ટમ ${x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = a$,$2{x_1} + 3{x_2} + {x_3} = b$,અને $3{x_1} + {x_2} + 2{x_3} = c$ માટે:

નીચેના સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}=4$,$\frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}=1$,અને $\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}=2$.

ધારો કે $a, b, c, d, e$ એ પાંચ સંખ્યાઓ છે જે નીચેના સમીકરણોનું પાલન કરે છે:
$2a + b + c + d + e = 6$
$a + 2b + c + d + e = 12$
$a + b + 2c + d + e = 24$
$a + b + c + 2d + e = 48$
$a + b + c + d + 2e = 96$
તો $|c|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $a$ એ $(1-2x+2x^2)^{2023}(3-4x^2+2x^3)^{2024}$ ના વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો છે અને $b = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{x^2} \right)$. જો સમીકરણો $cx^2+dx+e=0$ અને $2bx^2+ax+4=0$ નું એક સામાન્ય બીજ હોય,જ્યાં $c, d, e \in \mathbb{R}$,તો $d:c:e$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ
$x+2y+3z=\alpha$
$4x+5y+6z=\beta$
$7x+8y+9z=\gamma$
સુસંગત છે. ધારો કે $|M|$ એ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે
$M=\begin{bmatrix} \alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ધારો કે $P$ એ એવું સમતલ છે જેમાં $(\alpha, \beta, \gamma)$ ના તમામ બિંદુઓ છે જેના માટે ઉપરની સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે,અને $D$ એ બિંદુ $(0,1,0)$ થી સમતલ $P$ ના અંતરનો વર્ગ છે.
$(1)$ $|M|$ નું મૂલ્ય છે
$(2)$ $D$ નું મૂલ્ય છે

ક્રેમરના નિયમ દ્વારા સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX=B$ ઉકેલતી વખતે,સામાન્ય સંકેતમાં,જો $\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}-11 & 1 & -7 \\ -4 & 1 & -2 \\ 5 & 1 & 1\end{array}\right|$ અને $\Delta_3=\left|\begin{array}{ccc}4 & 1 & -11 \\ 1 & 1 & -4 \\ 4 & 1 & 5\end{array}\right|$ હોય,તો $X=$