$\tan 2 \alpha \cdot \tan \left(30^{\circ}-\alpha\right)+\tan 2 \alpha \cdot \tan \left(60^{\circ}-\alpha\right)+\tan \left(60^{\circ}-\alpha\right) \cdot \tan \left(30^{\circ}-\alpha\right)$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $-\frac{\pi}{4} < \beta < 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$. જો $\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{3}$ અને $\cos (\alpha-\beta) = \frac{2}{3}$ હોય,તો $\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \beta} + \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}\right)^2$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક શોધો.

$\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ} = $

$\operatorname{sech}^2\left(\tanh ^{-1} \frac{1}{2}\right)+\operatorname{cosech}^2\left(\operatorname{coth}^{-1} 3\right)=$

જો $\tanh x = \frac{1}{2}$ હોય,તો $\sinh 2x - \text{sech } 2x = $

ગુણાકાર $(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 3^{\circ}) \dots (1+\tan 45^{\circ})$ બરાબર શું થાય?