text{दिया गया है, } frac{sin 1^{circ}}{sin x^ | vedclass

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Question

(D) हमें सर्वसमिका दी गई है: $\frac{\sin 1^{\circ}}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}$.दोनों पक्षों को $\sin 1^

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$\operatorname{cosec} 1^{\circ}$

Vedclass · Answer

(D) हमें सर्वसमिका दी गई है: $\frac{\sin 1^{\circ}}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}$.दोनों पक्षों को $\sin 1^{\circ}$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \frac{\cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$.माना $S = \sum_{x=45}^{89} \frac{1}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}}$.सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{x=45}^{89} (\cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ})$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 46^{\circ} - \cot 47^{\circ}) + \dots + (\cot 89^{\circ} - \cot 90^{\circ})]$.सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 45^{\circ} - \cot 90^{\circ})$.चूंकि $\cot 45^{\circ} = 1$ और $\cot 90^{\circ} = 0$,इसलिए $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (1 - 0) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} = \operatorname{cosec} 1^{\circ}$.

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श्रेणी $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots$ के $15$ पदों तक का योग क्या है?

यदि योग $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ $20$ पदों तक $\frac{k}{21}$ के बराबर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{n}{{n + 2}}} \right) - {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S_n = \frac{1}{1^3} + \frac{1 + 2}{1^3 + 2^3} + \frac{1 + 2 + 3}{1^3 + 2^3 + 3^3} + \dots + \frac{1 + 2 + \dots + n}{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}$ है। यदि $100 S_n = n$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{k^3+6 k^2+11 k+5}{(k+3)!} \right)$ का मान क्या है?

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