एक रेखा L के निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड a औ | vedclass

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Question

(D) अंतःखंड $a$ और $b$ वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। जब अक्षों को $	heta$ कोण से घुमाया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x',

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$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}$

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(D) अंतःखंड $a$ और $b$ वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। जब अक्षों को $	heta$ कोण से घुमाया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x', y')$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = x' \cos 	heta - y' \sin 	heta$ और $y = x' \sin 	heta + y' \cos 	heta$ है। इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर: $\frac{x' \cos 	heta - y' \sin 	heta}{a} + \frac{x' \sin 	heta + y' \cos 	heta}{b} = 1$ $x' \left( \frac{\cos 	heta}{a} + \frac{\sin 	heta}{b} ight) + y' \left( \frac{\cos 	heta}{b} - \frac{\sin 	heta}{a} ight) = 1$. इसे नए अक्षों में रेखा के अंतःखंड रूप $\frac{x'}{p} + \frac{y'}{q} = 1$ से तुलना करने पर,हमें मिलता है: $\frac{1}{p} = \frac{\cos 	heta}{a} + \frac{\sin 	heta}{b}$ और $\frac{1}{q} = \frac{\cos 	heta}{b} - \frac{\sin 	heta}{a}$. इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: $\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} = \left( \frac{\cos 	heta}{a} + \frac{\sin 	heta}{b} ight)^2 + \left( \frac{\cos 	heta}{b} - \frac{\sin 	heta}{a} ight)^2$ $= \frac{\cos^2 	heta}{a^2} + \frac{\sin^2 	heta}{b^2} + \frac{2 \sin 	heta \cos 	heta}{ab} + \frac{\cos^2 	heta}{b^2} + \frac{\sin^2 	heta}{a^2} - \frac{2 \sin 	heta \cos 	heta}{ab}$ $= \frac{\cos^2 	heta + \sin^2 	heta}{a^2} + \frac{\cos^2 	heta + \sin^2 	heta}{b^2}$ $= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$. अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$.

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