$f(x) = \log \left( \left( \frac{2x^2 - 3}{x} \right) + \sqrt{\frac{4x^4 - 11x^2 + 9}{|x|}} \right)$ એ

સાબિત કરો કે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $f: R \rightarrow R$,જે $f(x)=[x]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક (one-one) પણ નથી અને વ્યાપ્ત (onto) પણ નથી,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.

જો $f(x) = \begin{cases} x, & \text{જ્યારે } x \text{ સંમેય હોય} \\ 0, & \text{જ્યારે } x \text{ અસંમેય હોય} \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} 0, & \text{જ્યારે } x \text{ સંમેય હોય} \\ x, & \text{જ્યારે } x \text{ અસંમેય હોય} \end{cases}$,તો $(f - g)$ એ:

ધારો કે $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. તો $f(1) + f(2) = 3 - f(3)$ થાય તેવા $f: A \rightarrow A$ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $.....$ છે.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ $f(x) = 3^{-|x|} - 3^x + \operatorname{sgn}(e^{-x}) + 2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે (જ્યાં $\operatorname{sgn}(x)$ એ $x$ નું સિગ્નમ વિધેય દર્શાવે છે). તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow [-1,1]$ અને $g:[-1,1] \rightarrow [0,2]$ બે વિધેયો છે,જ્યાં $g$ એક-એક (injective) છે અને $g \circ f: [0,1] \rightarrow [0,2]$ વ્યાપ્ત (surjective) છે. તો,