int frac{sqrt{2} sin x}{sin left(x+frac{pi}{4 | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$ है। प्रतिस्थापन $t = x+\frac{\pi}{4}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = t-\

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$x-\log \left|\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|+c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$ है। प्रतिस्थापन $t = x+\frac{\pi}{4}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = t-\frac{\pi}{4}$ और $dx = dt$ प्राप्त होता है। समाकलन में इन मानों को रखने पर: $I = \int \frac{\sqrt{2} \sin \left(t-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin t} dt$। सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर: $I = \int \sqrt{2} \frac{\sin t \cos \frac{\pi}{4} - \cos t \sin \frac{\pi}{4}}{\sin t} dt$। चूँकि $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है: $I = \int \sqrt{2} \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos t\right)}{\sin t} dt = \int \frac{\sin t - \cos t}{\sin t} dt$। $I = \int (1 - \cot t) dt = t - \ln |\sin t| + c$। $t = x+\frac{\pi}{4}$ वापस रखने पर: $I = x + \frac{\pi}{4} - \ln |\sin (x+\frac{\pi}{4})| + c$। अचर पद $\frac{\pi}{4}$ को अचर $c$ में समाहित करने पर: $I = x - \log |\sin (x+\frac{\pi}{4})| + c$।

$\int \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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