int_{-1}^1 frac{cosh x}{1+e^{2 x}} d x का मान | vedclass

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Question

(C) माना कि $I = \int_{-1}^1 \frac{\cosh x}{1+e^{2 x}} d x$. हम जानते हैं कि $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$,अतः समाकलन में यह मान रखने पर: $I = \i

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$\frac{e^2-1}{2 e}$

Vedclass · Answer

(C) माना कि $I = \int_{-1}^1 \frac{\cosh x}{1+e^{2 x}} d x$. हम जानते हैं कि $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$,अतः समाकलन में यह मान रखने पर: $I = \int_{-1}^1 \frac{e^x + e^{-x}}{2(1 + e^{2x})} d x$. अंश में $e^x + e^{-x}$ से $e^x$ कॉमन लेने पर: $e^x + e^{-x} = e^x(1 + e^{-2x}) = e^x \left(1 + \frac{1}{e^{2x}}\right) = e^x \left(\frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}\right) = \frac{1 + e^{2x}}{e^x}$. यह मान समाकलन में रखने पर: $I = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \frac{1 + e^{2x}}{e^x(1 + e^{2x})} d x$. $(1 + e^{2x})$ पद कट जाएगा: $I = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 e^{-x} d x$. समाकलन करने पर: $I = \frac{1}{2} [-e^{-x}]_{-1}^1 = -\frac{1}{2} [e^{-1} - e^1] = \frac{1}{2} (e^1 - e^{-1}) = \frac{e^2 - 1}{2e}$.

$\int_{-1}^1 \frac{\cosh x}{1+e^{2 x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए :

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$\int_{1 / 2}^{1 / \sqrt{2}} \frac{1}{\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\left(1-x^2\right)} d x=$

निश्चित समाकल $\int_{0}^{1} e^{e^x}(1 + x e^x) dx$ का मान किसके बराबर है?

$\int_{0}^{1} |3x^2 - 1| dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^5\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \sin x \, dx =$

निम्नलिखित निश्चित समाकलों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$(i)$ $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m(x) \cos (x) d x = \frac{1}{m+1}$
(ii) $\int_0^{\pi / 2} \sin (x) \cos ^n(x) d x = \frac{1}{n+1}$

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