$(a)$ सिद्ध कीजिए कि $10$ के साथ सापेक्ष अभाज्य प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,एक ऐसी प्राकृतिक संख्या $m$ मौजूद है जिसके सभी अंक $1$ हैं और $n$,$m$ को विभाजित करता है।
$(b)$ इसके आधार पर या अन्यथा सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या को कुछ प्राकृतिक संख्याओं $a, b, c$ के लिए $\frac{a}{10^b(10^c-1)}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यदि $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=2$ है,तो $\frac{d y}{d x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$138 \ g$ एथिल अल्कोहल को $72 \ g$ पानी के साथ मिलाया जाता है। अल्कोहल और पानी के मोल अंश का अनुपात क्या है?

समीकरण $x^2+4xy+y^2=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के युग्म के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)

जब सिल्वर ब्रोमाइड में सोडियम थायोसल्फेट का विलयन मिलाया जाता है,तो बनने वाले उत्पाद का सूत्र क्या है?