माना C अतिपरवलय frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^ | vedclass

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Question

(A) माना $P$ बिंदु $(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$ है।$P$ पर स्पर्श रेखा $\frac{x \sec 	heta}{a} - \frac{y 	an 	heta}{b} = 1$ है।यह $bx - ay = 0$

Vedclass · Accepted Answer

$a^2 + b^2$

Vedclass · Answer

(A) माना $P$ बिंदु $(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$ है।$P$ पर स्पर्श रेखा $\frac{x \sec 	heta}{a} - \frac{y 	an 	heta}{b} = 1$ है।यह $bx - ay = 0$ (अर्थात $\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$) को बिंदु $Q$ पर मिलती है।स्पर्श रेखा के समीकरण में $y = \frac{bx}{a}$ रखने पर: $\frac{x \sec 	heta}{a} - \frac{bx 	an 	heta}{ab} = 1 \implies \frac{x}{a}(\sec 	heta - 	an 	heta) = 1 \implies x = \frac{a}{\sec 	heta - 	an 	heta}, y = \frac{b}{\sec 	heta - 	an 	heta}$.अतः,$Q = (\frac{a}{\sec 	heta - 	an 	heta}, \frac{b}{\sec 	heta - 	an 	heta})$.यह $bx + ay = 0$ (अर्थात $\frac{x}{a} = -\frac{y}{b}$) को बिंदु $R$ पर मिलती है।स्पर्श रेखा के समीकरण में $y = -\frac{bx}{a}$ रखने पर: $\frac{x \sec 	heta}{a} + \frac{bx 	an 	heta}{ab} = 1 \implies \frac{x}{a}(\sec 	heta + 	an 	heta) = 1 \implies x = \frac{a}{\sec 	heta + 	an 	heta}, y = -\frac{b}{\sec 	heta + 	an 	heta}$.अतः,$R = (\frac{a}{\sec 	heta + 	an 	heta}, -\frac{b}{\sec 	heta + 	an 	heta})$.$CQ = \sqrt{(\frac{a}{\sec 	heta - 	an 	heta})^2 + (\frac{b}{\sec 	heta - 	an 	heta})^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sec 	heta - 	an 	heta}$.$CR = \sqrt{(\frac{a}{\sec 	heta + 	an 	heta})^2 + (-\frac{b}{\sec 	heta + 	an 	heta})^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sec 	heta + 	an 	heta}$.$CQ \cdot CR = \frac{a^2 + b^2}{(\sec 	heta - 	an 	heta)(\sec 	heta + 	an 	heta)} = \frac{a^2 + b^2}{\sec^2 	heta - 	an^2 	heta} = a^2 + b^2$ (चूँकि $\sec^2 	heta - 	an^2 	heta = 1$)।

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