int_3^5(x-3)^3(5-x)^5 d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_3^5 (x-3)^3 (5-x)^5 dx$.गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर, $I = \int_3^5 (5-x)^3 (x-3)^5 dx$ प्राप

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$\frac{64}{63}$

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(A) माना $I = \int_3^5 (x-3)^3 (5-x)^5 dx$.गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर, $I = \int_3^5 (5-x)^3 (x-3)^5 dx$ प्राप्त होता है।वैकल्पिक रूप से, $x-3 = 2t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करें, जिससे $x=3+2t$ और $dx=2dt$ प्राप्त होता है।जब $x=3, t=0$ और जब $x=5, t=1$.$I = \int_0^1 (2t)^3 (5-(3+2t))^5 (2dt) = \int_0^1 8t^3 (2-2t)^5 (2dt) = 16 	imes 2^5 \int_0^1 t^3 (1-t)^5 dt$.$I = 512 \int_0^1 t^3 (1-t)^5 dt$.बीटा फलन $\int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$ का उपयोग करने पर।यहाँ $m-1=3 \implies m=4$ और $n-1=5 \implies n=6$.$I = 512 	imes \frac{3! 	imes 5!}{9!} = 512 	imes \frac{6 	imes 120}{362880} = 512 	imes \frac{720}{362880} = 512 	imes \frac{1}{504} = \frac{512}{504} = \frac{64}{63}$.

$\int_3^5(x-3)^3(5-x)^5 d x=$

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यदि $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x}{1+\sin x \cos x} dx = \frac{1}{a} \log_e\left(\frac{a}{3}\right) + \frac{\pi}{b \sqrt{3}}$,जहाँ $a, b \in N$,तो $a+b$ का मान .................... है।

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