int_0^pi frac{x , dx}{4 cos^2 x + 9 sin^2 x} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{12}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2(\pi - x) + 9 \sin^2(\pi - x)} = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}$.$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x} = \pi \int_0^\pi \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 	an^2 x}$.ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $f(2a-x) = f(x)$):$2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 	an^2 x} \Rightarrow I = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 	an^2 x}$.ધારો કે $t = 	an x$, તેથી $dt = \sec^2 x \, dx$. સીમાઓ $[0, \pi/2]$ થી બદલાઈને $[0, \infty]$ થશે.$I = \pi \int_0^\infty \frac{dt}{4 + 9t^2} = \frac{\pi}{9} \int_0^\infty \frac{dt}{(2/3)^2 + t^2}$.સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{\pi}{9} \cdot \frac{3}{2} \left[ 	an^{-1}(\frac{3t}{2}) ight]_0^\infty = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{12}$.

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x} = $

Similar Questions

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,$\int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1}^1 \frac{\log 2 - \log(1+x)}{\sqrt{1-x^2}} dx =$

$\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1 + \cos x + \sin x} \,dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module