int {{e^x}left( {frac{{1 - sin x}}{{1 - cos x | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int {{e^x}\left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 - \cos x}}} \right)dx} $. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ और $\sin x = 2\

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$- {e^x}\cot \left( {x/2} \right)$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int {{e^x}\left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 - \cos x}}} \right)dx} $. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ और $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$ का उपयोग करने पर: $I = \int {{e^x}\left( {\frac{{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2)}}{{2\sin^2(x/2)}}} \right)dx} $. $I = \int {{e^x}\left( {\frac{1}{{2\sin^2(x/2)}} - \frac{{2\sin(x/2)\cos(x/2)}}{{2\sin^2(x/2)}}} \right)dx} $. $I = \int {{e^x}\left( {\frac{1}{2}\csc^2(x/2) - \cot(x/2)} \right)dx} $. हम जानते हैं कि $\int {{e^x}(f(x) + f'(x))dx} = {e^x}f(x) + C$. यहाँ,$f(x) = -\cot(x/2)$ लेने पर,$f'(x) = -(-\csc^2(x/2) \cdot 1/2) = \frac{1}{2}\csc^2(x/2)$ प्राप्त होता है। अतः,$I = {e^x}(-\cot(x/2)) + C = -{e^x}\cot(x/2) + C$.

$\int {{e^x}\left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 - \cos x}}} \right)\,dx} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int e^x(\sin^2 2x - 8 \cos 4x) dx = e^x f(x) + c$ है, तो $f(\frac{\pi}{4}) = $

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$\int {{{\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 4}}} \right)}^2}{e^x}\,dx} $ किसके बराबर है?

$\int e^{4x}(\sin 3x - \cos 3x) dx = $

$\int_0^1 \frac{x e^x}{(2+x)^3} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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