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Question

(A) माना $I = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $. अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर: $I =

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$\frac{1}{2}\log 2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $. अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर: $I = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k/n^2}{1 + (k/n)^2}} = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k/n}{1 + (k/n)^2}}$. निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,जहाँ $\frac{k}{n} = x$ और $\frac{1}{n} = dx$,जैसे ही $n 	o \infty$,योग इस प्रकार हो जाता है: $I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{1 + {x^2}}}dx} $. माना $u = 1 + x^2$,तब $du = 2x dx$,या $x dx = \frac{1}{2} du$. जब $x = 0, u = 1$. जब $x = 1, u = 2$. $I = \frac{1}{2} \int\limits_1^2 {\frac{1}{u} du} = \frac{1}{2} [\log |u|]_1^2 = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\frac{1}{3 n^2+8 n+4}+\frac{1}{3 n^2+16 n+16}+\ldots+\frac{1}{15 n^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left\{ \sec ^{2} \frac{\pi}{4 n} + \sec ^{2} \frac{2 \pi}{4 n} + \ldots + \sec ^{2} \frac{n \pi}{4 n} \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{1}^{99}}+{{2}^{99}}+{{3}^{99}}+......{{n}^{99}}}{{{n}^{100}}}=$

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