int_{0}^{infty} frac{x ln x}{(1 + x^2)^2} , d | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता

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(A) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।जब $x 	o 0$,तब $	heta 	o 0$ और जब $x 	o \infty$,तब $	heta 	o \frac{\pi}{2}$।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{	an 	heta \ln(	an 	heta)}{(1 + 	an^2 	heta)^2} \sec^2 	heta \, d	heta$चूंकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,इसलिए:$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{	an 	heta \ln(	an 	heta)}{\sec^4 	heta} \sec^2 	heta \, d	heta$$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin 	heta \cos 	heta \ln(	an 	heta) \, d	heta$$\sin 	heta \cos 	heta = \frac{1}{2} \sin 2	heta$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta \ln(	an 	heta) \, d	heta$माना $J = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta \ln(	an 	heta) \, d	heta$। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin(2(\frac{\pi}{2} - 	heta)) \ln(	an(\frac{\pi}{2} - 	heta)) \, d	heta$$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin(\pi - 2	heta) \ln(\cot 	heta) \, d	heta$$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta \ln(\cot 	heta) \, d	heta$$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta (-\ln(	an 	heta)) \, d	heta = -J$अतः,$2J = 0$,जिसका अर्थ है $J = 0$। इसलिए,$I = 0$।

$\int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(\sin x) \,dx$,$J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\cos x) \,dx$,और $K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$ है,तो:

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x \cdot \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{1} x(1 - x)^{5} dx = . . . . . .$

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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