L लंबाई की एक पतली छड़ को X-अक्ष पर इस प्रकार | vedclass

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Question

(D) द्रव्यमान-केंद्र $x_{cm}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{L} x \cdot k(x/L)^n dx}{\i

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(D) द्रव्यमान-केंद्र $x_{cm}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{L} x \cdot k(x/L)^n dx}{\int_{0}^{L} k(x/L)^n dx} = \frac{\int_{0}^{L} x^{n+1} dx}{\int_{0}^{L} x^n dx}$समाकलन करने पर:$x_{cm} = \frac{L^{n+2} / (n+2)}{L^{n+1} / (n+1)} = L \left( \frac{n+1}{n+2} ight)$व्यवहार का विश्लेषण:$1$. जब $n = 0$ होता है,तो $x_{cm} = L(1/2) = L/2$.$2$. जैसे-जैसे $n 	o \infty$ होता है,$x_{cm} = L \left( \frac{1 + 1/n}{1 + 2/n} ight) 	o L$.$3$. अवकलन $\frac{dx_{cm}}{dn} = L \left( \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+2)^2} ight) = \frac{L}{(n+2)^2} > 0$,जिसका अर्थ है कि $x_{cm}$,$n$ का एक वर्धमान फलन है।अतः,ग्राफ $n=0$ के लिए $L/2$ से शुरू होता है और जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,यह अनंतस्पर्शी रूप से $L$ के करीब पहुंचता है। यह ग्राफ विकल्प $D$ में दर्शाया गया है।

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