यदि $\binom{18}{15} + 2\binom{18}{16} + \binom{17}{16} + 1 = \binom{n}{3}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

$8$ पुरुषों और $5$ महिलाओं में से $11$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि $m$ कम से कम $6$ पुरुषों के साथ समिति बनाने के तरीकों की संख्या है और $n$ कम से कम $3$ महिलाओं के साथ समिति बनाने के तरीकों की संख्या है,तो:

यदि ${ }^{2n}C_3 : { }^{n}C_3 = 12 : 1$ है,तो $n =$

$2n$ वस्तुओं में से $n$ वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें से $n$ वस्तुएं समान हैं और शेष अलग हैं:

$4$ अधिकारियों और $8$ कांस्टेबलों में से $6$ व्यक्तियों का चयन कितनी तरह से किया जा सकता है कि कम से कम एक अधिकारी शामिल हो?

कथन-$1$: $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में $^9C_3$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे।
कथन-$2$: $9$ स्थानों में से किन्हीं $3$ स्थानों को $^9C_3$ तरीकों से चुना जा सकता है।