यदि vec{u}, vec{v}, और vec{w} तीन असमतलीय सदि | vedclass

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Question

(C) माना दिया गया व्यंजक $E = (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) \cdot ((\vec{u} - \vec{v}) 	imes (\vec{v} - \vec{w}))$ है।सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का विस

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$\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})$

Vedclass · Answer

(C) माना दिया गया व्यंजक $E = (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) \cdot ((\vec{u} - \vec{v}) 	imes (\vec{v} - \vec{w}))$ है।सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करें:$(\vec{u} - \vec{v}) 	imes (\vec{v} - \vec{w}) = \vec{u} 	imes \vec{v} - \vec{u} 	imes \vec{w} - \vec{v} 	imes \vec{v} + \vec{v} 	imes \vec{w}$.चूंकि $\vec{v} 	imes \vec{v} = 0$,यह सरल होकर निम्न हो जाता है:$(\vec{u} 	imes \vec{v}) - (\vec{u} 	imes \vec{w}) + (\vec{v} 	imes \vec{w})$.अब,$(\vec{u} + \vec{v} - \vec{w})$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लें:$E = (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) \cdot (\vec{u} 	imes \vec{v} - \vec{u} 	imes \vec{w} + \vec{v} 	imes \vec{w})$.अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) के गुण $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c})$ का उपयोग करते हुए:$E = [\vec{u} \vec{u} \vec{v}] - [\vec{u} \vec{u} \vec{w}] + [\vec{u} \vec{v} \vec{w}] + [\vec{v} \vec{u} \vec{v}] - [\vec{v} \vec{u} \vec{w}] + [\vec{v} \vec{v} \vec{w}] - [\vec{w} \vec{u} \vec{v}] + [\vec{w} \vec{u} \vec{w}] - [\vec{w} \vec{v} \vec{w}]$.चूंकि किसी भी अदिश त्रिक गुणन में दो समान सदिश होने पर उसका मान $0$ होता है:$E = 0 - 0 + [\vec{u} \vec{v} \vec{w}] + 0 - [\vec{v} \vec{u} \vec{w}] + 0 - [\vec{w} \vec{u} \vec{v}] + 0 - 0$.चक्रीय गुण $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}]$ और प्रति-चक्रीय गुण $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = -[\vec{b} \vec{a} \vec{c}]$ का उपयोग करते हुए:$[\vec{v} \vec{u} \vec{w}] = -[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]$ और $[\vec{w} \vec{u} \vec{v}] = [\vec{u} \vec{v} \vec{w}]$.इन मानों को वापस रखने पर:$E = [\vec{u} \vec{v} \vec{w}] - (-[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]) - [\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = [\vec{u} \vec{v} \vec{w}] + [\vec{u} \vec{v} \vec{w}] - [\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = [\vec{u} \vec{v} \vec{w}]$.अतः,परिणाम $\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})$ है।

यदि $\vec{u}, \vec{v},$ और $\vec{w}$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) \cdot ((\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{v} - \vec{w})) = \dots$

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