i + 2j + k और i + j + 2k के साथ समतलीय और i + | vedclass

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Question

(A) माना कि अभीष्ट सदिश $\vec{v} = ai + bj + ck$ है।चूंकि $\vec{v}$,$\vec{u_1} = i + 2j + k$ और $\vec{u_2} = i + j + 2k$ के साथ समतलीय है,इसलिए $\vec{

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$\pm \frac{j - k}{\sqrt{2}}$

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(A) माना कि अभीष्ट सदिश $\vec{v} = ai + bj + ck$ है।चूंकि $\vec{v}$,$\vec{u_1} = i + 2j + k$ और $\vec{u_2} = i + j + 2k$ के साथ समतलीय है,इसलिए $\vec{v} = p(i + 2j + k) + r(i + j + 2k)$ होगा।इससे हमें $a = p + r$,$b = 2p + r$,और $c = p + 2r$ प्राप्त होता है।चूंकि $\vec{v}$,$\vec{w} = i + j + k$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $a + b + c = 0$.$a, b, c$ के मान रखने पर: $(p + r) + (2p + r) + (p + 2r) = 0 \implies 4p + 4r = 0 \implies p = -r$.$p = -r$ को $a, b, c$ के व्यंजकों में रखने पर: $a = -r + r = 0$,$b = -2r + r = -r$,$c = -r + 2r = r$.अतः,$\vec{v} = r(-j + k) = -r(j - k)$.$\vec{v}$ के इकाई सदिश होने के लिए,$|\vec{v}| = 1 \implies \sqrt{0^2 + (-r)^2 + r^2} = 1 \implies \sqrt{2r^2} = 1 \implies r^2 = 1/2 \implies r = \pm 1/\sqrt{2}$.इसलिए,अभीष्ट इकाई सदिश $\pm \frac{j - k}{\sqrt{2}}$ है।

$i + 2j + k$ और $i + j + 2k$ के साथ समतलीय और $i + j + k$ के लंबवत एक इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

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उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(1, 2, 3)$,$(2, 5, -1)$ और $(-1, 1, 2)$ हैं।

मान लीजिए $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,किसी वास्तविक $x$ के लिए। तो $|\vec{a} \times \vec{b}| = r$ संभव है यदि

बिंदु $P(\vec{r})$ का बिंदु पथ (locus) जो निश्चित बिंदुओं $A(\hat{i})$ और $B(\hat{j})$ के साथ $1$ वर्ग इकाई क्षेत्रफल वाला त्रिभुज $ABP$ बनाता है, है

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