જો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ હોય,તો $\vec{b}$ ના શક્ય સદિશોની સંખ્યા શોધો જેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ થાય,જ્યાં $(x, y, z) \in \mathbb{N}$.

બળ $\vec{F} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ દ્વારા સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ પર થયેલું કાર્ય ............ એકમ છે.

ધારો કે ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ છે. જો ત્રિકોણના સમતલમાં,$P$ એવું બિંદુ છે જેનો સ્થાન સદિશ $\bar{x}$ છે જેથી $\bar{x} \cdot (\bar{c} - \bar{b}) = \bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{a} \cdot \bar{b}$ અને $\bar{x} \cdot (\bar{a} - \bar{c}) = \bar{a} \cdot \bar{b} - \bar{b} \cdot \bar{c}$ થાય,તો ત્રિકોણ $ABC$ માટે $P$ એ શું છે?

જો $|a| = |b| = 1$ અને $|a + b| = \sqrt{3}$ હોય,તો $(3a - 4b) \cdot (2a + 5b)$ ની કિંમત શોધો.

સદિશ $\vec{a} = (\alpha, 2, \beta)$ એ સદિશો $\vec{b} = (1, 1, 0)$ અને $\vec{c} = (0, 1, 1)$ ના સમતલમાં આવેલ છે અને $\vec{b}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે. તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ $\alpha$ અને $\beta$ ના શક્ય મૂલ્યો દર્શાવે છે?

ધારો કે બે એકમ સદિશો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta, 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ એ $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{65}}{9}\right)$ છે. જો સદિશ $\vec{c} = 3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})$ હોય,તો $9(\vec{c} \cdot \hat{a}) - 3(\vec{c} \cdot \hat{b})$ ની કિંમત શોધો.