यदि सदिश $\vec{a} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{c} = a\hat{i} + \hat{k}$ दिए गए हैं,तो $a$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए इन तीन सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो।

यदि एक चतुष्फलक जिसके सह-अंतिम किनारे $\bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}$, $2 \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$ और $3 \bar{i}-\bar{j}+p \bar{k}$ हैं, का आयतन $2$ है, तो $p$ के मान किस समीकरण के मूल हैं?

यदि $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $d$ कोई इकाई सदिश है, तो $|(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b)| = $

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ कोई भी तीन शून्येतर असमतलीय सदिश हैं और सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ हैं,तो $[\vec{p} \vec{q} \vec{r}] = ...$

यदि $a, b, c$ असमतलीय सदिश हैं और $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,तो $[\lambda(a + b), \lambda^2 b, \lambda c] = [a, b + c, b]$ के लिए

यदि सदिश $i+3j-2k$,$2i-j+4k$ और $3i+2j+xk$ समतलीय हैं,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।