બે થેલી $A$ અને $B$ માં અનુક્રમે $2$ સફેદ,$3$ કાળા,$4$ લાલ અને $3$ સફેદ,$4$ કાળા,$5$ લાલ દડા છે. થેલી $A$ માંથી એક દડો કાઢીને થેલી $B$ માં મૂકવામાં આવે છે. જો હવે થેલી $B$ માંથી એક દડો કાઢવામાં આવે,તો તે સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી?

એક નિદાન કસોટી જ્યારે કોઈ ચોક્કસ રોગથી પીડાતી વ્યક્તિ પર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે હકારાત્મક પરિણામ આપવાની સંભાવના $0.95$ છે અને જ્યારે તે રોગ ન હોય તેવી વ્યક્તિને આપવામાં આવે ત્યારે હકારાત્મક પરિણામ આપવાની સંભાવના $0.10$ છે. એવું અનુમાન છે કે વસ્તીના $0.5 \%$ લોકો આ રોગથી પીડાય છે. જો આ કસોટી હવે આ વસ્તીમાંથી એવી વ્યક્તિ પર કરવામાં આવે કે જેના વિશે આ રોગના વ્યાપ અંગે કોઈ માહિતી નથી અને કસોટી હકારાત્મક પરિણામ આપે છે, તો તે વ્યક્તિ રોગથી પીડિત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

એક ફેક્ટરીમાં કુલ ત્રણ ઉત્પાદન એકમો $M_1, M_2$ અને $M_3$ છે,જે સ્વતંત્ર રીતે બલ્બનું ઉત્પાદન કરે છે. એકમો $M_1, M_2$ અને $M_3$ અનુક્રમે $2: 2: 1$ ના પ્રમાણમાં બલ્બનું ઉત્પાદન કરે છે. એવું જાણવા મળ્યું છે કે ફેક્ટરીમાં ઉત્પાદિત બલ્બમાંથી $20\%$ બલ્બ ખામીયુક્ત છે. એવું પણ જાણવા મળ્યું છે કે $M_1$ દ્વારા ઉત્પાદિત તમામ બલ્બમાંથી $15\%$ ખામીયુક્ત છે. ધારો કે,જો ફેક્ટરીમાં ઉત્પાદિત યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ બલ્બ ખામીયુક્ત જણાય,તો તે $M_2$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના $\frac{2}{5}$ છે. જો $M_3$ દ્વારા ઉત્પાદિત બલ્બમાંથી એક બલ્બ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો તેના ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $.....$ છે.

રંગીન દડાઓને ચાર બોક્સમાં નીચે મુજબના કોષ્ટકમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે વહેંચવામાં આવ્યા છે:

બોક્સ	કાળો	સફેદ	લાલ	વાદળી
$I$	$3$	$4$	$5$	$6$
$II$	$2$	$2$	$2$	$2$
$III$	$1$	$2$	$3$	$1$
$IV$	$4$	$3$	$1$	$5$

એક બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને પછી પસંદ કરેલા બોક્સમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. જો દડાનો રંગ કાળો હોય,તો દડો બોક્સ $III$ માંથી હોય તેની સંભાવના કેટલી?

$A, B_1, B_2, B_3$ એક યાદચ્છિક પ્રયોગમાં ઘટનાઓ છે. જો $P(B_1)=0.25, P(B_2)=0.30, P(B_3)=0.45, P(A|B_1)=0.05, P(A|B_2)=0.04, P(A|B_3)=0.03$ હોય, તો $P(B_2|A) = $

થેલી $A$ માં $3$ સફેદ અને $5$ કાળી દડા છે, જ્યારે થેલી $B$ માં $4$ સફેદ અને $3$ કાળી દડા છે. થેલી $A$ માંથી યાદચ્છિક રીતે એક દડો પસંદ કરવામાં આવે છે અને થેલી $B$ માં મૂકવામાં આવે છે. જો હવે થેલી $B$ માંથી યાદચ્છિક રીતે એક દડો પસંદ કરવામાં આવે, તો આ દડો સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?