ધારો કે $P(3, 2, 6)$ એ અવકાશમાં આવેલું બિંદુ છે અને $Q$ એ રેખા $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k})$ પરનું બિંદુ છે. તો $\mu$ ના કયા મૂલ્ય માટે સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ ને સમાંતર હોય?

જો $P$,$Q$ અને $R$ એ બિંદુ $A(1, 1, 1)$ માંથી સમતલો $P_1: x + 2y + 2z = 2$,$P_2: 2x - 2y + z = -8$ અને $P_1$ તથા $P_2$ ની છેદરેખા પર દોરેલા લંબપાદ હોય,તો $\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

રેખા $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ અને સમતલ $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}) = 8$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ એ $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ છે. જો $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$ હોય, તો $p$ ની કિંમત(ઓ) શોધો:

જો સમતલો $2x - 7y + 4z - 3 = 0$ અને $3x - 5y + 4z + 11 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને બિંદુ $(-2, 1, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz - 7 = 0$ હોય,તો $2a + b + c - 7$ ની કિંમત શોધો.

જો બિંદુઓ $(1, 1, \lambda )$ અને $(-3, 0, 1)$ એ સમતલ $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ થી સમાન અંતરે હોય,તો $\lambda$ કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે?

ધારો કે $Q$ એ બિંદુ $P(1, 2, 1)$ નું સમતલ $x + 2y + 2z = 16$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ છે. ધારો કે $T$ એ બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થતું અને રેખા $\vec{r} = -\hat{k} + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ ને સમાવતું સમતલ છે. તો,નીચેનામાંથી કયું બિંદુ $T$ પર આવેલું છે?