x^{2} + y^{2} + c^{2} = 2ax और x^{2} + y^{2} | vedclass

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Question

(C) दिए गए समीकरण $S_1: x^{2} + y^{2} - 2ax + c^{2} = 0$ और $S_2: x^{2} + y^{2} - 2by + c^{2} = 0$ हैं।$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (a, 0)$ और त्रिज्या

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$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{c^{2}}$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए समीकरण $S_1: x^{2} + y^{2} - 2ax + c^{2} = 0$ और $S_2: x^{2} + y^{2} - 2by + c^{2} = 0$ हैं।$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (a, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$ है।$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, b)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{b^{2} - c^{2}}$ है।दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर हो,अर्थात $C_1C_2 = r_1 + r_2$।$C_1C_2 = \sqrt{(a-0)^{2} + (0-b)^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$।अतः,$\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} - c^{2}} + \sqrt{b^{2} - c^{2}}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^{2} + b^{2} = (a^{2} - c^{2}) + (b^{2} - c^{2}) + 2\sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$।$a^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2} - 2c^{2} + 2\sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$।$2c^{2} = 2\sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$।$c^{2} = \sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$।पुनः वर्ग करने पर: $c^{4} = (a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2}) = a^{2}b^{2} - a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} + c^{4}$।$a^{2}c^{2} + b^{2}c^{2} = a^{2}b^{2}$।$a^{2}b^{2}c^{2}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{c^{2}}$ प्राप्त होता है।

$x^{2} + y^{2} + c^{2} = 2ax$ और $x^{2} + y^{2} + c^{2} = 2by$ समीकरणों द्वारा निरूपित वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से कब स्पर्श करते हैं?

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