द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 पर विचार करे | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $g(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$। ध्यान दें कि $g'(x) = ax^2 + bx + c$ है।$g(0) = 0$ और $g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है। कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $g(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$। ध्यान दें कि $g'(x) = ax^2 + bx + c$ है।$g(0) = 0$ और $g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$ की गणना करें।चूंकि $2a + 3b + 6c = 0$ है,इसलिए $g(1) = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $g(0) = 0$ और $g(1) = 0$ है,और $g(x)$ एक बहुपद है (जो हर जगह सतत और अवकलनीय है),इसलिए $[0, 1]$ अंतराल में $g(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है।अतः,कथन-$2$ सत्य है।रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c_0$ ऐसा मौजूद है कि $g'(c_0) = 0$ हो।चूंकि $g'(x) = ax^2 + bx + c$ है,इसका अर्थ है कि $ac_0^2 + bc_0 + c = 0$ है।इसलिए,द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

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निम्नलिखित में से कौन सा फलन दिए गए अंतराल में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है?

मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो सभी $x \ge x_0$ के लिए परिभाषित और अवकलनीय हैं। यदि $f(x_0) = g(x_0)$ और सभी $x > x_0$ के लिए $f'(x) > g'(x)$ है,तो:

मान लीजिए $f(1) = -2$ और $1 \le x \le 6$ के लिए $f'(x) \ge 4.2$ है। $f(6)$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?

यदि $[1, 3]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ के लिए रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो:

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