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Question

(D) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } {\left( {\frac{{\left( {n + 1} ight)\left( {n + 2} ight) \ldots \left( {3n} ight)}}{{{n^{2n

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$\frac{{27}}{{{e^2}}}$

Vedclass · Answer

(D) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } {\left( {\frac{{\left( {n + 1} ight)\left( {n + 2} ight) \ldots \left( {3n} ight)}}{{{n^{2n}}}}} ight)^{\frac{1}{n}}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=1}^{2n} \ln \left( {\frac{{n+r}}{n}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=1}^{2n} \ln \left( {1 + \frac{r}{n}} ight)$.यह एक रीमैन योग है,जो निश्चित समाकल में परिवर्तित हो जाता है:$\ln L = \int\limits_0^2 \ln(1+x) dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int \ln(1+x) dx = (1+x)\ln(1+x) - (1+x) + C$.निश्चित समाकल का मान ज्ञात करने पर:$\ln L = \left[ (1+x)\ln(1+x) - x ight]_0^2 = (3\ln 3 - 2) - (1\ln 1 - 0) = 3\ln 3 - 2$.अतः,$L = e^{3\ln 3 - 2} = e^{\ln(3^3) - 2} = e^{\ln 27} \cdot e^{-2} = \frac{27}{e^2}$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \ldots \left( {3n} \right)}}{{{n^{2n}}}}} \right)^{\frac{1}{n}}} = $

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$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{1}^{99}}+{{2}^{99}}+{{3}^{99}}+......{{n}^{99}}}{{{n}^{100}}}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{\sqrt{4 n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-2^2}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-3^2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{4 n^2-n^2}}\right\}=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{n}{{1 + {n^2}}} + \frac{n}{{4 + {n^2}}} + \frac{n}{{9 + {n^2}}} + .... + \frac{1}{{2n}}} \right]$ का मान क्या है?

मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ और $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ जहाँ $n=1, 2, 3, \ldots$ है। तो,

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]=$

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