mathop {Limit}limits_{n to infty } frac{1}{n} | vedclass

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Question

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \mathop {Limit}\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{3n-3} \sqrt{\frac{n}{n+r}}$ है।इसे $S = \mathop {Limit}\limit

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$2$

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(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \mathop {Limit}\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{3n-3} \sqrt{\frac{n}{n+r}}$ है।इसे $S = \mathop {Limit}\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{3n-3} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{r}{n}}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\mathop {Limit}\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{kn} f(\frac{r}{n}) = \int_0^k f(x) dx$।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ और ऊपरी सीमा $k = \frac{3n-3}{n} 	o 3$ है जब $n 	o \infty$।अतः,$S = \int_0^3 \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx$।समाकल का मूल्यांकन करने पर: $S = [2\sqrt{1+x}]_0^3$।$S = 2\sqrt{1+3} - 2\sqrt{1+0} = 2\sqrt{4} - 2(1) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$।

$\mathop {Limit}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left[ 1 + \sqrt {\frac{n}{n + 1}} + \sqrt {\frac{n}{n + 2}} + \sqrt {\frac{n}{n + 3}} + \dots + \sqrt {\frac{n}{n + 3(n - 1)}} \right]$ का मान किसके बराबर है?

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योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{a}^{b} x \, dx$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ और $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ जहाँ $n=1, 2, 3, \ldots$ है। तो,

$\lim _{n \rightarrow \infty} n^4\left[\frac{1}{n^5}+\frac{1}{\left(n^2+1\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{1}{\left(n^2+4\right)^{\frac{5}{2}}}+\frac{1}{\left(n^2+9\right)^{\frac{5}{2}}}+\ldots+\right]=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r = 1}^n {\frac{1}{n}{e^{\frac{r}{n}}}} $ का मान क्या है?

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