समाकलन ज्ञात कीजिए: int {frac{{{e^{{{tan }^{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int {\frac{{{e^{{{	an }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } ight)}^2}\

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${e^{{{	an }^{ - 1}}x}}\,.\,{\left( {{{	an }^{ - 1}}x} ight)^2}\,\,+ C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int {\frac{{{e^{{{	an }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } ight)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} ight)} ight]} \,\,\,dx$ है। सबसे पहले,त्रिकोणमितीय पदों को सरल करने पर: $x > 0$ के लिए,माना $	an^{-1}x = 	heta$,तो $x = 	an	heta$। $\sec^{-1}\sqrt{1+x^2} = \sec^{-1}(\sec	heta) = 	heta = 	an^{-1}x$। साथ ही,$\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight) = \cos^{-1}(\cos 2	heta) = 2	heta = 2	an^{-1}x$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{e^{	an^{-1}x}}{1+x^2} [(	an^{-1}x)^2 + 2	an^{-1}x] dx$। माना $t = 	an^{-1}x$,तो $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$। $I = \int e^t (t^2 + 2t) dt$। सूत्र $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$: $I = e^t \cdot t^2 + C = e^{	an^{-1}x} (	an^{-1}x)^2 + C$।

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int {\frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)} \right]} \,\,\,dx$ जहाँ $x > 0$.

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$ \int e^{\sin x} \cdot \left(\frac{\sin x+1}{\sec x}\right) d x $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x=e^x f(x)+c$ है,तो $f(x)$ ज्ञात कीजिए।

$\int e^x(2021+\tan x+\tan^2 x) dx = $ . . . . . . $+ C$.

यदि $\int {{e^{{x^2}}}\left( {2 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = {e^{{x^2}}}f(x) + C} $ और $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

$\int [\sin(\log x) + \cos(\log x)] dx = $

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