$A$ और $B$ दो दिए गए आव्यूह हैं जिनका क्रम $A$ का $3 \times 4$ है। यदि $A'B$ और $BA'$ दोनों परिभाषित हैं,तो:

मान लीजिए $A$ एक $2 \times 2$ वास्तविक आव्यूह है जिसके अवयव $\{0, 1\}$ से हैं और $|A| \neq 0$ है। निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$(P)$ यदि $A \neq I_{2}$,तो $|A| = -1$
$(Q)$ यदि $|A| = 1$,तो $\operatorname{tr}(A) = 2$
जहाँ $I_{2}$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह को दर्शाता है और $\operatorname{tr}(A)$ आव्यूह $A$ के विकर्ण अवयवों का योग दर्शाता है। तो:

यदि $A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 2\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 4\end{array}\right]$ और $C=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -2 & 1\end{array}\right]$ है,तो $A(BC)$,$(AB)C$ ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि $(AB)C=A(BC)$ है।

$3 \times 3$ आव्यूहों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके सभी अवयव या तो $2$ हैं या $9$ हैं।

मान लीजिए $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) को दर्शाता है और $P$ एक ऐसा आव्यूह है जो $I$ के स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त किया जाता है। तो,

यदि $A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 0 & i \end{bmatrix}$ है,तो $A^4$ का मान क्या होगा?