$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક રીંગ $u$ જેટલા અચળ વેગથી સરક્યા વિના ગબડે છે. રીંગના કોઈપણ કણ દ્વારા તેના પથના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ અનુસરવામાં આવતા પથની વક્રતા ત્રિજ્યા કેટલી હશે?

નીચેના વિધાનો સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો:
$(1)$ અચળ કોણીય વેગ સાથે ફરતી વસ્તુનો કોણીય પ્રવેગ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
$(2)$ કોઈ વસ્તુ પાસે ઉર્જા વગર પણ જડત્વની આઘૂર્ણ હોઈ શકે છે.
$(3)$ વસ્તુની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા એક અચળ રાશિ છે.
$(4)$ ફિગર સ્કેટર જ્યારે તેમના હાથ અંદર ખેંચે છે ત્યારે તેઓ ઝડપથી ફરે છે કારણ કે તેમની જડત્વની આઘૂર્ણ ઘટે છે.

$m$ દળનો એક બ્લોક,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પુલી (ડિસ્ક) સાથે ઢીલી દોરી વડે જોડાયેલ છે. પુલીને સમક્ષિતિજ ટેબલ પર તેના કેન્દ્ર પર જડિત કરવામાં આવી છે અને બ્લોકને $5\, m/s$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. જ્યારે દોરી ખેંચાય ત્યારે તેનો વેગ કેટલો હશે?

$m = 1 \ kg$ દળ અને $R = 1.25 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક રીંગને ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર રાખવામાં આવી છે. સમાન દળ $m = 1 \ kg$ ધરાવતો એક નાનો પદાર્થ રીંગની ટોચ પર ચોંટાડેલો છે. જ્યારે તેને સહેજ આગળ ધક્કો મારવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગ જમીન પર શુદ્ધ ગબડતી ગતિ (pure rolling) શરૂ કરે છે. રીંગના કેન્દ્રની મહત્તમ ઝડપ ($m/s$ માં) કેટલી હશે?

દ્રઢ પદાર્થની સામાન્ય ગતિને $(i)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની કોઈ અક્ષની આસપાસની ગતિ અને $(ii)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન અક્ષની આસપાસની ગતિના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય. આ અક્ષો સ્થિર હોવી જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક પાતળી સમાન તકતીને તેના પરિઘ પર એક દળરહિત લાકડી સાથે આડી રીતે વેલ્ડિંગ (દ્રઢ રીતે જોડાયેલ) કરેલ છે. જ્યારે તકતી-લાકડી તંત્રને આડા ઘર્ષણરહિત સમતલ પર ઉદગમબિંદુની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ ક્ષણે ગતિને $(i)$ તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની $z$-અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ અને $(ii)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તત્કાલીન ઉભી અક્ષની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ (જે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના બદલાયેલા અભિગમ પરથી જોઈ શકાય છે) ના સંયોજન તરીકે લઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં બંને ગતિઓની કોણીય ઝડપ $\omega$ સમાન છે. હવે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સમાન તંત્રો ધ્યાનમાં લો: કિસ્સો $(a)$ તકતીનો ચહેરો ઉભો અને $x-z$ સમતલને સમાંતર છે; કિસ્સો $(b)$ તકતીનો ચહેરો $x-y$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે અને તેનો આડો વ્યાસ $x$-અક્ષને સમાંતર છે. બંને કિસ્સાઓમાં,તકતીને બિંદુ $P$ પર વેલ્ડિંગ કરવામાં આવે છે,અને તંત્રોને $z$-અક્ષની આસપાસ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ફેરવવામાં આવે છે.
$1.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) ની આસપાસની કોણીય ઝડપ અંગે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે $\omega$ છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $\sqrt{2} \omega$ છે.
$(D)$ તે બંને કિસ્સાઓ માટે $\omega$ છે.
$2.$ તત્કાલીન અક્ષ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ તે બંને કિસ્સાઓ $(a)$ અને $(b)$ માટે ઉભી છે.
$(B)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલમાં રહેલી છે.
$(C)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે આડી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
$(D)$ તે કિસ્સા $(a)$ માટે ઉભી છે; અને કિસ્સા $(b)$ માટે $x-z$ સમતલ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે અને તકતીના સમતલને લંબ છે.
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

$M$ દળ ધરાવતા બે સમાન પદાર્થોને $L$ લંબાઈના દળરહિત સળિયા વડે જોડવામાં આવ્યા છે. હવે એક પદાર્થ પર $J = MV$ જેટલો આઘાત (impulse) સળિયાની લંબાઈ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી દિશામાં આપવામાં આવે છે. આઘાત આપ્યા પછી તરત જ સળિયાનો કોણીય વેગ કેટલો હશે?