int {frac{{sin 2theta dtheta}}{{(1 - {{sin }^ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\sin 2	heta d	heta}{\cos^2 	heta \cos 3	heta} = \int \frac{2 \sin 	heta \cos 	heta d	heta}{\cos^2 	heta (4 \cos^3 	h

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3}\ln \left| {{{\left( {\frac{{\cos 	heta + \cos \frac{\pi }{6}}}{{\cos 	heta - \cos \frac{\pi }{6}}}} ight)}^{	an \frac{\pi }{6}}}{e^{\sec (\pi - 	heta )}}} ight| + C$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{\sin 2	heta d	heta}{\cos^2 	heta \cos 3	heta} = \int \frac{2 \sin 	heta \cos 	heta d	heta}{\cos^2 	heta (4 \cos^3 	heta - 3 \cos 	heta)} = \int \frac{2 \sin 	heta d	heta}{\cos^2 	heta (4 \cos^2 	heta - 3)}$.माना $\cos 	heta = x$,तब $-\sin 	heta d	heta = dx$.$I = -2 \int \frac{dx}{x^2(4x^2 - 3)} = -\frac{2}{3} \int \frac{4x^2 - (4x^2 - 3)}{x^2(4x^2 - 3)} dx = -\frac{2}{3} \int \left( \frac{1}{x^2 - 3/4} - \frac{1}{x^2} ight) dx$.$I = -\frac{2}{3} \left( \frac{1}{2(\sqrt{3}/2)} \ln \left| \frac{x - \sqrt{3}/2}{x + \sqrt{3}/2} ight| + \frac{1}{x} ight) + C = -\frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left| \frac{2x - \sqrt{3}}{2x + \sqrt{3}} ight| + \frac{1}{x} ight) + C$.चूँकि $	an(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$ और $\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$,अतः $I = \frac{2}{3} \ln \left| \left( \frac{2x + \sqrt{3}}{2x - \sqrt{3}} ight)^{	an(\pi/6)} \cdot e^{-1/x} ight| + C$.$x = \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$I = \frac{2}{3} \ln \left| \left( \frac{\cos 	heta + \cos(\pi/6)}{\cos 	heta - \cos(\pi/6)} ight)^{	an(\pi/6)} \cdot e^{-\sec 	heta} ight| + C$.चूँकि $-\sec 	heta = \sec(\pi - 	heta)$,अतः परिणाम विकल्प $C$ से मेल खाता है।

$\int {\frac{{\sin 2\theta d\theta}}{{(1 - {{\sin }^2}\theta )\cos 3\theta }}} $ का मान ज्ञात कीजिए। (जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।)

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यदि $\int {\frac{{dx}}{{{x^3}{{\left( {1 + {x^6}} \right)}^{2/3}}}} = xf\left( x \right){{\left( {1 + {x^6}} \right)}^{\frac{1}{3}}} + C} $ जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है,तो फलन $f(x)$ किसके बराबर है?

$\int_{\frac{1}{3}}^1 (x - x^3)^{\frac{1}{3}} dx$ का मान क्या है?

यदि $\int \sqrt{\frac{x - 5}{x - 7}} dx = A \sqrt{x^2 - 12 x + 35} + \log |x - 6 + \sqrt{x^2 - 12 x + 35}| + C$ है,तो $A = . . . . . .$

$\int \frac{x^2-2}{x^3 \sqrt{x^2-1}} d x=$

$\int \frac{d x}{(x+1)^{3 / 4}(x-2)^{5 / 4}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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