આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $m$ દળ અને અવગણ્ય અવરોધ ધરાવતો એક વાહક તાર $XY$ બે સમાંતર વાહક તાર પર સરળતાથી સરકે છે. બંધ પરિપથમાં $AC$ ને કારણે $R$ જેટલો અવરોધ છે. $AB$ અને $CD$ આદર્શ વાહકો છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B(t) \hat{k}$ છે.
$(i)$ તાર $XY$ ના પ્રવેગ માટેનું સમીકરણ લખો.
$(ii)$ જો $\vec{B}$ સમય પર આધારિત ન હોય,તો $v(0) = u_0$ ધારીને $v(t)$ મેળવો.
$(iii)$ $(ii)$ માટે,દર્શાવો કે $XY$ ની ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ $R$ માં વ્યય થતી ઉષ્મા જેટલો છે.

(N/A) ધારો કે બે સમાંતર તાર $y=0$ અને $y=l$ પર છે. ધારો કે $t=0$ સમયે તાર $XY$ એ $x=0$ પર છે અને $t$ સમયે તે $x$ સ્થાન પર છે.
$(i)$ બંધ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = B(t) l x$ છે.
પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt}[B(t) l x] = -l [B(t) \frac{dx}{dt} + x \frac{dB(t)}{dt}] = -l B(t) v - lx \frac{dB(t)}{dt}$.
તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = IlB(t) = \frac{\varepsilon}{R} l B(t) = -\frac{l^2 B(t)}{R} [v B(t) + x \frac{dB(t)}{dt}]$.
$F = ma$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = -\frac{l^2 B(t)}{mR} [v B(t) + x \frac{dB(t)}{dt}]$.
$(ii)$ જો $B$ અચળ હોય,તો $\frac{dB}{dt} = 0$,તેથી $a = -\frac{l^2 B^2}{mR} v$.
$\frac{dv}{dt} = -\frac{l^2 B^2}{mR} v \implies \int_{u_0}^{v} \frac{dv}{v} = -\int_{0}^{t} \frac{l^2 B^2}{mR} dt$.
$\ln(\frac{v}{u_0}) = -\frac{l^2 B^2}{mR} t \implies v(t) = u_0 e^{-\frac{l^2 B^2}{mR} t}$.
$(iii)$ ગતિઊર્જામાં ઘટાડો $\Delta K = \frac{1}{2} m u_0^2 - \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m u_0^2 (1 - e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t})$.
વ્યય થતી ઉષ્મા $H = \int_0^t I^2 R dt = \int_0^t (\frac{Blv}{R})^2 R dt = \frac{B^2 l^2}{R} \int_0^t u_0^2 e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t} dt$.
$H = \frac{B^2 l^2 u_0^2}{R} [\frac{e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t}}{-\frac{2l^2 B^2}{mR}}]_0^t = \frac{1}{2} m u_0^2 (1 - e^{-\frac{2l^2 B^2}{mR} t})$.
આમ,$\Delta K = H$.