एक फलन y=f(x),f(x) sin 2x + sin x - (1 + cos^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \cos^2 x) \frac{dy}{dx} - (\sin 2x) y = \sin x$ है।$(1 + \cos^2 x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \left( \frac{\

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \cos^2 x) \frac{dy}{dx} - (\sin 2x) y = \sin x$ है।$(1 + \cos^2 x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \left( \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} \right) y = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x}$ और $Q(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} dx}$ है।माना $u = 1 + \cos^2 x$,तो $du = -2 \cos x \sin x dx = -\sin 2x dx$ होगा।अतः,$I.F. = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln(u)} = 1 + \cos^2 x$ प्राप्त होता है।व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y(1 + \cos^2 x) = \int \left( \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \right) (1 + \cos^2 x) dx = \int \sin x dx = -\cos x + C$।चूँकि $f(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ रखने पर,$y(1 + \cos^2 0) = -\cos 0 + C \implies 0(2) = -1 + C \implies C = 1$।इस प्रकार,$y(1 + \cos^2 x) = 1 - \cos x$ प्राप्त होता है।$x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,$y(1 + \cos^2 \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos \frac{\pi}{2} \implies y(1 + 0) = 1 - 0 \implies y = 1$।

एक फलन $y=f(x)$,$f(x) \sin 2x + \sin x - (1 + \cos^2 x) f'(x) = 0$ को $f(0) = 0$ शर्त के साथ संतुष्ट करता है। तो $f(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

अवकल समीकरण $ydx - xdy + \log x dx = 0$ का हल है

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y \tan x = e^x \sec x$ का हल है

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है। $(x \neq 0)$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module