एक कण $x(t) = x_0 (1 - e^{-\gamma t})$ द्वारा वर्णित गति करता है,जहाँ $t \geqslant 0$ और $x_0 > 0$ है।
$(a)$ कण कहाँ से शुरू होता है और किस वेग के साथ?
$(b)$ $x(t)$,$v(t)$ और $a(t)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए। दर्शाइए कि $x(t)$ समय के साथ बढ़ता है,$v(t)$ समय के साथ घटता है और $a(t)$ समय के साथ बढ़ता है।

(N/A) दिया गया है,$x(t) = x_0 (1 - e^{-\gamma t})$.
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = x_0 \gamma e^{-\gamma t}$.
त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt} = -x_0 \gamma^2 e^{-\gamma t}$.
$(a)$ $t = 0$ पर,$x(0) = x_0(1 - e^0) = 0$. कण मूल बिंदु से शुरू होता है।
$t = 0$ पर वेग $v(0) = x_0 \gamma e^0 = x_0 \gamma$ है।
$(b)$
$x(t)$: जैसे $t \to \infty$,$x(t) \to x_0$ (अधिकतम)। $t = 0$ पर,$x(t) = 0$ (न्यूनतम)। चूँकि $\frac{dx}{dt} > 0$,$x(t)$ समय के साथ बढ़ता है।
$v(t)$: $t = 0$ पर,$v(0) = x_0 \gamma$ (अधिकतम)। जैसे $t \to \infty$,$v(t) \to 0$ (न्यूनतम)। चूँकि $\frac{dv}{dt} < 0$,$v(t)$ समय के साथ घटता है।
$a(t)$: $t = 0$ पर,$a(0) = -x_0 \gamma^2$ (न्यूनतम)। जैसे $t \to \infty$,$a(t) \to 0$ (अधिकतम)। चूँकि $\frac{da}{dt} = x_0 \gamma^3 e^{-\gamma t} > 0$,$a(t)$ समय के साथ बढ़ता है।