પૃથ્વીના કેન્દ્રની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $M$ દળનો એક ઉપગ્રહ છે. પૃથ્વી તરફ પડતો સમાન દળ $M$ નો એક ઉલ્કાપિંડ ઉપગ્રહ સાથે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે. અથડામણ પહેલાં ઉપગ્રહ અને ઉલ્કાપિંડની ઝડપ સમાન છે. સંયુક્ત પદાર્થની ત્યારબાદની ગતિ કેવી હશે?

એક ગ્રહની આસપાસ સ્થિર કક્ષામાં ફરતા ઉપગ્રહનો સમયગાળો $6 \text{ કલાક}$ છે. ગ્રહનું દળ પૃથ્વીના દળ કરતાં ચોથા ભાગનું છે. ઉપગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા કેટલી હશે? (આપેલ છે: પૃથ્વી માટે ભૂ-સ્થિર કક્ષાની ત્રિજ્યા $4.2 \times 10^4 \text{ km}$ છે)

પૃથ્વીની સપાટીની નજીક રહેલા પૃથ્વીના ઉપગ્રહનો પરિભ્રમણ સમય $83$ મિનિટ છે. પૃથ્વીની સપાટીથી ત્રણ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા જેટલા અંતરે આવેલી કક્ષામાં રહેલા બીજા ઉપગ્રહનો સમયગાળો .......... $\min$ હશે.

ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ કેટલો હોય છે ($\text{ h}$ માં)?

નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન $I$: એક ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીકની કક્ષામાં પૃથ્વીની આસપાસ ફરી રહ્યો છે. ઉપગ્રહના પરિભ્રમણનો સમયગાળો પૃથ્વીની ઘનતા પર આધાર રાખે છે.
વિધાન $II$: ઉપગ્રહના પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e}{g}}$ છે (પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીકના ઉપગ્રહ માટે), જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં, નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:

સૂર્ય $250 \, km/s$ ની ઝડપે આકાશગંગાની આસપાસ ફરે છે અને તેની ત્રિજ્યા $3 \times 10^{4} \, \text{light years}$ છે. આકાશગંગા (Milky Way) નું દળ કેટલું છે?