એક સિસ્ટમ અવમંદન રહિત સરળ આવર્ત ગતિ (undamped simple harmonic motion) કરી રહી છે. તો

બે કણો એક સીધી રેખામાં $SHM$ (સરળ આવર્ત ગતિ) કરે છે. બંને કણોનો કંપવિસ્તાર $A$ અને આવર્તકાળ $T$ સમાન છે. સમય $t=0$ પર,એક કણ સ્થાનાંતર $y_1 = +A$ પર છે અને બીજો $y_2 = -A/2$ પર છે,અને તેઓ એકબીજાની નજીક આવી રહ્યા છે. કેટલા સમય પછી તેઓ એકબીજાને ઓળંગશે?

ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ તમામ પ્રકારની ગતિશીલ સમસ્યાઓના વિશ્લેષણમાં ઉપયોગી સાધનો છે. જ્યારે પ્રારંભિક સ્થાન અને વેગમાન બદલાય ત્યારે ગતિમાં થતા ફેરફારોનો અભ્યાસ કરવામાં તે ખાસ કરીને ઉપયોગી છે. અહીં આપણે એક પરિમાણમાં કેટલીક સરળ ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો વિચાર કરીએ છીએ. આવી પ્રણાલીઓ માટે, ફેઝ સ્પેસ એ એક સમતલ છે જેમાં સ્થાનને આડી ધરી પર અને વેગમાનને ઊભી ધરી પર આલેખવામાં આવે છે. ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ એ આ સમતલમાં $x(t)$ વિરુદ્ધ $p(t)$ વક્ર છે. વક્ર પરનું તીર સમયનો પ્રવાહ સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અચળ વેગ સાથે ગતિ કરતા કણ માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ એક સીધી રેખા છે. આપણે ચિહ્ન સંજ્ઞાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જેમાં ઉપરની તરફ (અથવા જમણી તરફ) સ્થાન અથવા વેગમાન ધન છે અને નીચેની તરફ (અથવા ડાબી તરફ) ઋણ છે.
$1.$ જમીન પરથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ કયો છે?
$2.$ સરળ આવર્ત ગતિ માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળ છે. આકૃતિમાં, બે વર્તુળો સમાન ઓસિલેટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે પરંતુ અલગ-અલગ પ્રારંભિક સ્થિતિઓ માટે, અને $E_1$ અને $E_2$ અનુક્રમે કુલ યાંત્રિક ઉર્જા છે. તો:
$(A) E_1 = \sqrt{2} E_2$
$(B) E_1 = 2 E_2$
$(C) E_1 = 4 E_2$
$(D) E_1 = 16 E_2$
$3.$ પાણીમાં ડૂબેલા દળ સાથેની સ્પ્રિંગ-માસ સિસ્ટમનો વિચાર કરો, જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. આ સિસ્ટમના એક ચક્ર માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ કયો છે?
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ્થિતિ ઊર્જા $U(x)$ માં $m$ દળનો કણ ગતિ કરે છે. સ્થિતિ ઊર્જા $x < 0$ માટે $U = \frac{1}{2}kx^2$ અને $x > 0$ માટે $U = mgx$ છે. જ્યારે કણની કુલ ઊર્જા $E$ હોય ત્યારે તેની ગતિનો આવર્તકાળ કેટલો હશે?

બે દળ $m$ અને $\frac{m}{2}$ ને $l$ લંબાઈના દળરહિત સખત સળિયાના બે છેડા પર જોડવામાં આવ્યા છે. સળિયાને સળિયા-દળ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર $k$ ટોર્સનલ અચળાંક ધરાવતા પાતળા તાર દ્વારા લટકાવવામાં આવ્યો છે (આકૃતિ જુઓ). ટોર્સનલ અચળાંક $k$ ને કારણે,કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માટે પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = k\theta$ છે. જો સળિયાને $\theta_0$ જેટલો ફેરવીને મુક્ત કરવામાં આવે,તો જ્યારે તે તેના સરેરાશ સ્થાનમાંથી પસાર થાય ત્યારે તેમાં રહેલું તણાવ કેટલું હશે?

ખાલી જગ્યા પૂરો:
$1.$ જો પૃથ્વીના વ્યાસ પર એક ટનલ ખોદવામાં આવે અને તેમાં એક પદાર્થને મુક્તપણે છોડવામાં આવે,તો આ પદાર્થની ગતિ ......... છે,જો તેના પર માધ્યમનું કોઈ ઘર્ષણ બળ લાગતું ન હોય.
$2.$ જ્યારે કોઈ પદાર્થ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે અને $\frac{1}{2\pi}$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે તેનો કળા (phase) ......... $rad$ જેટલો વધે છે.
$3.$ સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કળા દર સેકન્ડે ......... જેટલી વધે છે.
$4.$ બે સ્પ્રિંગના બળ અચળાંકોનો ગુણોત્તર $1:2$ છે અને તેમની યાંત્રિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર $2:9$ છે,તો સ્પ્રિંગના છેડે લટકાવેલા બે પદાર્થોના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર ......... છે.