एक द्वि-आयामी ठोस a और b त्रिज्या वाले वृत्तो | vedclass

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Question

(A) पैकिंग अंश $(PF)$ को वृत्तों के क्षेत्रफल और आयत के क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।$PF = \frac{\pi a^{2} + \pi b^{2}}{(2a + 2

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$0.41$

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(A) पैकिंग अंश $(PF)$ को वृत्तों के क्षेत्रफल और आयत के क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।$PF = \frac{\pi a^{2} + \pi b^{2}}{(2a + 2b)(2a)} = \frac{\pi(a^{2} + b^{2})}{4a(a + b)}$$a^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $PF = \frac{\pi(1 + r^{2})}{4(1 + r)}$ प्राप्त होता है,जहाँ $r = \frac{b}{a}$ है।पैकिंग अंश को न्यूनतम करने के लिए,हम $PF$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:$\frac{d(PF)}{dr} = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{(1+r)(2r) - (1+r^{2})(1)}{(1+r)^{2}} \right] = 0$$2r + 2r^{2} - 1 - r^{2} = 0$$r^{2} + 2r - 1 = 0$द्विघात सूत्र $r = \frac{-B \pm \sqrt{B^{2} - 4AC}}{2A}$ का उपयोग करते हुए:$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$चूंकि $r$ धनात्मक होना चाहिए,$r = \sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$ है।अतः,यह मान $0.41$ के सबसे निकट है।

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