એક સમાન તકતી (disc) પર $F$ મૂલ્યના બે સમાન બળો લાગે છે. તેમાંથી એક બળ તકતીને સ્પર્શકની દિશામાં લાગે છે,જ્યારે બીજું બળ તકતીના કેન્દ્રબિંદુ પર લાગે છે. તકતીની સપાટી અને જમીન વચ્ચેનું ઘર્ષણ $nF$ છે. જો $r$ એ તકતીની ત્રિજ્યા હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $l$ લંબાઈના પિવોટેડ પાતળા સળિયા માટે,જ્યારે સળિયાને સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે ત્યારે તે શિરોલંબ સ્થિતિમાં પહોંચે ત્યારે તેની કોણીય ઝડપ કેટલી હશે?

આકૃતિ $1$ માં દર્શાવ્યા મુજબ એક વ્યક્તિ પોતાની આંગળીના ટેરવા પાસે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર રીંગને ફેરવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,આંગળી રીંગની અંદરની ધાર સાથેનો સંપર્ક ક્યારેય ગુમાવતી નથી. આંગળી શંકુની સપાટી બનાવે છે,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. રીંગ અને આંગળી જ્યાં સંપર્કમાં છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા પથની ત્રિજ્યા $r$ છે. આંગળી $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. ફરતી રીંગ એ નાના વર્તુળની બહારની બાજુએ સરક્યા વિના ગબડે છે જે રીંગ અને આંગળીના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (આકૃતિ $2$). રીંગ અને આંગળી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમાન વર્તુળાકાર તકતી, જે ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર પડેલી છે, તે તેની પોતાની ધરી પર $\omega$ કોણીય વેગથી ભ્રમણ કરે છે. બીજી સમાન વર્તુળાકાર તકતીને પ્રથમ તકતીની ઉપર અક્ષીય રીતે મૂકવામાં આવે છે. જ્યારે બંને તકતીઓ સમાન કોણીય વેગ પ્રાપ્ત કરે છે, ત્યારે ઘર્ષણને કારણે થતો રોટેશનલ ગતિઊર્જાનો વ્યય કેટલો હશે? ($I$ એ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા છે).

એક સપાટ આડી સપાટી પર રાખેલ પદાર્થને તેના ઉપરના બિંદુ પર લાગતા અચળ આડા બળ દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે. જો પદાર્થ સપાટી પર શુદ્ધ ગબડતી ગતિ (pure rolling) કરતો હોય,તો તેનો આકાર કેવો હોઈ શકે?

$M$ દળ અને $L$ લંબાઈનો એક પાતળો અને સમાન સળિયો મોટા ઘર્ષણવાળા ભોંયતળિયા પર શિરોલંબ રાખવામાં આવ્યો છે. સળિયાને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે જેથી તે ભોંયતળિયા સાથેના સંપર્કબિંદુની આસપાસ સરક્યા વિના પરિભ્રમણ કરીને નીચે પડે છે. જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે ત્યારે નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે? [$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે]
$(1)$ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $\frac{3g}{4}$ હશે
$(2)$ સળિયાનો કોણીય પ્રવેગ $\frac{3\sqrt{3}g}{4L}$ હશે
$(3)$ સળિયાની કોણીય ઝડપ $\sqrt{\frac{3g}{2L}}$ હશે
$(4)$ ભોંયતળિયા દ્વારા સળિયા પર લાગતું લંબબળ $\frac{Mg}{16}$ હશે