एक दीवार फर्श के साथ $135^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई है। $l$ लंबाई की एक सीढ़ी दीवार पर टिकी हुई है। जैसे-जैसे सीढ़ी नीचे फिसलती है,उसका मध्य-बिंदु एक दीर्घवृत्त (ellipse) का चाप बनाता है। तो,दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है

वक्र $9x^2 + 4y^2 - 36 = 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है ($\pi$ में)?

दीर्घवृत्त $x^2 + 3y^2 = 6$ पर स्थित एक बिंदु का उत्केंद्र कोण (eccentric angle) ज्ञात कीजिए,जिसकी दीर्घवृत्त के केंद्र से दूरी $2$ इकाई है।

एक वृत्त $C$ का केंद्र दीर्घवृत्त $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ के केंद्र पर स्थित है। मान लीजिए कि $C$,$E$ की नाभियों $F_1$ और $F_2$ से होकर गुजरता है,जिससे वृत्त $C$ और दीर्घवृत्त $E$ चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए कि $P$ इन चार बिंदुओं में से एक है। यदि त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $30$ है और $E$ के दीर्घ अक्ष की लंबाई $17$ है,तो $E$ की नाभियों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $E : x^2 + 9y^2 = 9$ धनात्मक $x$- और $y$-अक्षों को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटता है। मान लीजिए कि $E$ का दीर्घ अक्ष वृत्त $C$ का व्यास है। मान लीजिए कि $A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा वृत्त $C$ को बिंदु $P$ पर मिलती है। यदि त्रिभुज जिसके शीर्ष $A, P$ और मूल बिंदु $O$ हैं,का क्षेत्रफल $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,तो $m - n$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $lx + my - n = 0$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होगी,यदि