y = int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt का चरम मान | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $y = \int_{0}^{x} (t^2 - 3t + 2) dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,अवकलज प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = (x - 1)(x - 2)$।

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$(A)$ और $(B)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $y = \int_{0}^{x} (t^2 - 3t + 2) dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए,अवकलज प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = (x - 1)(x - 2)$। चरम मानों के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,$x = 1$ और $x = 2$ प्राप्त होते हैं। अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2x - 3$। $x = 1$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = 2(1) - 3 = -1 $y_{max} = \int_{0}^{1} (t^2 - 3t + 2) dt = [\frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$। $x = 2$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = 2(2) - 3 = 1 > 0$,अतः $x = 2$ पर $y$ का मान न्यूनतम है। $y_{min} = \int_{0}^{2} (t^2 - 3t + 2) dt = [\frac{t^3}{3} - \frac{3t^2}{2} + 2t]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$। अतः,चरम मान $5/6$ और $2/3$ हैं। इसलिए,सही विकल्प $(D)$ है।

$y = \int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt$ का चरम मान (extremum value) ज्ञात कीजिए।

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