x = y^2 - 1 और x = |y| sqrt{1 - y^2} वक्रों क | vedclass

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Question

(D) वक्र $x = y^2 - 1$ और $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ हैं।चूंकि दोनों वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश $(y \ge 0)$

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$2$

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(D) वक्र $x = y^2 - 1$ और $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ हैं।चूंकि दोनों वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश $(y \ge 0)$ में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।प्रथम चतुर्थांश में,वक्र $x = y^2 - 1$ और $x = y \sqrt{1 - y^2}$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^2 - 1 = y \sqrt{1 - y^2}$ लें। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $(y^2 - 1)^2 = y^2(1 - y^2)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $(y^2 - 1)(y^2 - 1 + y^2) = 0$ मिलता है। अतः $y^2 = 1$ या $2y^2 = 1$,यानी $y = 1$ या $y = 1/\sqrt{2}$।क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{1} |y \sqrt{1 - y^2} - (y^2 - 1)| dy$ द्वारा प्राप्त होता है।समाकलन करने पर: $A = 2 \int_{0}^{1} (y \sqrt{1 - y^2} - y^2 + 1) dy$।$A = 2 \left[ -\frac{1}{3}(1 - y^2)^{3/2} - \frac{y^3}{3} + y \right]_{0}^{1}$।$A = 2 \left[ (0 - 1/3 + 1) - (-1/3 - 0 + 0) \right] = 2 \left[ 2/3 + 1/3 \right] = 2(1) = 2$।

$x = y^2 - 1$ और $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ वक्रों के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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